Loi de Hardy, un résultat étonnant de génétique à partir de maths élémentaires.

Ayant entendu parler de la loi de Hardy sur la stabilité des proportions d'allèles, dominants ou récessifs pour un gène, et donc pour les phénotypes associés, la couleur des yeux par exemple, et sachant que Hardy était un mathématicien renommé, on peut s'intéresser aux maths qui ont ont conduit à ce résultat.

Bien que le problème s'avère facile au final, il y avait avant la publication de Hardy une controverse entre experts en statistique et génétique, et c'est par hasard et pour rendre service à son partenaire du jeu de croquet qu’Hardy se pencha sur le sujet.

 

La surprise est donc venue en constatant qu’il n’y avait pas de modélisation complexe usant de processus aléatoires, mais que tout le résultat repose sur la simple identité  : (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.  

  

Un gène possédant deux allèles, chacun provenant d’un parent,  ayant 2 formes possibles notées A,a

Par exemple, A désignerait la couleur marron pour les yeux, a la couleur bleue.

Les fréquences des allèles dans la population sont notées (on distingue Aa de aA pour suivre le mécanisme de meïose où chaque parent fourni un seul allèle).

Les proportions sont notées par les lettres p, q, et r, comme suit, le tableau étant symétrique, et aA,  Aa sont indistincts dans la nature, on peut poser que Aa et aA existent avec suivant une proportion q qui est identique considérant que Aa et aA constituent le même cas, d'où : 

AA - p, Aa - q, aA - q, aa -  r

À partir de 2 individus, sous l’hypothèse dite panmictique on compte alors les fréquences des croisements dans une table de multiplication comme celle produite par Hardy.

Parent1 / Parent2	AA p	Aa q	aA q	aa r
AA p	AA	Aa	AA	Aa
Aa q	AA	Aa	AA	Aa
aA q	aA	aa	aA	aa
aa  r	aA	Aa	aA	aa

Pour alléger la notation,  x2 désigne une quantité x élevée au carré, soit x^2, à ne pas confondre avec 2x indiquant la quantité doublée. F est la fréquence pour les génotypes des descendants de la première génération.

F(AA) = P = p2+pq+qp+q2 = p2+2pq+q2=(p+q)2

F(Aa) = Q= pq+q2+pr+qr = (p+q)(q+r)

F(aA) = Q= qp+q2+rp+rq

F(aa) = R= q2+rq+qr+r2 =  (q+r)2=q2+2qr+r2

Hypothèse : si q2=pr  (on verra ce qu’il en est par la suite)

En remplaçant q2 par pr dans les expressions de P et R on a :

P=p2+2pq+pr

R=pr+2rq+r2

et donc P/R = p(p+2q+r)/r(p+2q+r) = p/r. Pour montrer le résultat, sachant que p+2q+r=P+2Q+R=1, il faut une relation supplémentaire, (Q/R)2=(q/r)2=(p/r). En effet, l’hypothèse est q2=pr qu’on divise par r2 d’une part, et on a constaté que Q2=PR par lecture directe des expressions de P, Q, R, qu’on divise par R2 pour obtenir (Q/R)2=(P/R)=p/r soit (q/r)2, d’autre part.

En résumé sous l’hypothèse q2=pr on a P/R=p/r et Q/R=q/r et sachant que la somme P+2Q+R=p+2q+r est égale à 1, la seule solution possible est P=p, Q=q, R=r.

La nature est ingénieuse, car s’il n’y a aucune raison pour que q2=pr, les calculs deviennent néanmoins valables à partir de la génération suivante, car on a constate que toujours Q2=PR, par construction. Le mathématicien anglais Hardy le formulait ainsi.

«The interesting question is — in what circumstances will this distribution be the same as that in the generation before? It is easy to see that the condition for this is q^2 = pr. And since q_1^2 = p_1r_1, whatever the values of p, q, and r may be, the distribution will in any case continue unchanged after the second generation ».

Les proportions d’allèles se stabilisent immédiatement, par un mécanisme d’identité remarquable.  

Hardy, spécialiste en théorie des nombres, et mentor du génial mathématicien Indien Ramanujan, n’était pas particulièrement impressionné par sa découverte, mais pour nous qui avons des souvenirs scolaires, voilà peut-être enfin la justification de l'adjectif « remarquable ».

La conséquence de la « loi », qui est un théorème, est que dans une population fermée, nombreuse et non soumise à la sélection naturelle, il n’y aurait pas comme on pourrait le croire un phénotype unique auquel une dilution inéluctable mène au fil du temps.

 Les yeux bleus ne disparaissent pas, malgré leur caractère récessif, mais par ailleurs il existe des maladies qui persistent par le même mécanisme de rencontre entre 2 allèles récessifs. La reproduction génétique semble préférer une sorte de statu quo opposé au changement, mais sans stabilité que serait la vie ?   

PS : L’ «évolution allèlique » est enseignée dès la classe de première, mais j’ignore si la preuve du résultat est aussi présentée.